Question

【題目】探究：如圖1和2,四邊形中,已知，，點，分別在、上，．

（1）①如圖 1,若、都是直角，把繞點逆時針旋轉至，使與重合，則能證得，請寫出推理過程；

②如圖 2，若、都不是直角，則當與滿足數量關系_______時，仍有;

（2）拓展：如圖3,在中，,，點、均在邊上,且．若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2）

【解析】

（1）①根據旋轉的性質得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據SAS推出△EAF≌△GAF，根據全等三角形的性質得出EF＝GF，即可求出答案；

②根據旋轉的性質得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據SAS推出△EAF≌△GAF，根據全等三角形的性質得出EF＝GF，即可求出答案；

（2）根據等腰直角三角形性質好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據旋轉的性質得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據全等得出DF＝DE，設DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3x，根據勾股定理得出方程，求出x即可．

（1）①如圖1，

∵把繞點逆時針旋轉至，使與重合，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

即，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴；

②，

理由是：

把繞點旋轉到，使和重合，

則，，，

∵，

∴，

∴，，在一條直線上，

和①知求法類似，，

在和中

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案為：

（2）∵中，，

∴，由勾股定理得：

，

把繞點旋轉到,使和重合，連接．

則，，，

∵，

∴，

∴，

在和中

∴，

∴，

設，則，

∵，

∴，

∵，，

∴，

由勾股定理得：，

，

解得：，

即．