Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+3與x軸相交于點B，與y軸相交于點A，點E為線段AB中點，∠ABO的平分線BD與y軸相較于點D，點A、C關于點O對稱．

（1）求線段DE的長；

（2）一個動點P從點D出發，沿適當的路徑運動到直線BC上的點F，再沿射線CB方向移動2個單位到點G，最后從點G沿適當的路徑運動到點E處，當P的運動路徑最短時，求此時點G的坐標；

（3）將△ADE繞點A順時針方向旋轉，旋轉角度α（0＜α≤180°），在旋轉過程中DE所在的直線分別與直線BC、直線AC相交于點M、點N，是否存在某一時刻使△CMN為等腰三角形，若存在，請求出CM的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（，）；（3）6+﹣3或6++3或2﹣2或8.

【解析】

（1）想辦法證明DE⊥AB，利用角平分線的性質定理證明DE＝OD即可解決問題；

（2）過點E作EE′∥BC，點E′在x軸下方且EE′＝2，作點D關于直線BC的對稱點D′，連接E′D′交BC于F，在射線CB上取FG＝2．此時D→F→G→E的路徑最短．

（3）分三種情形：①如圖1中，當CM＝CN時，在AE上取一點P，使得AP＝PN．設EN＝x．②如圖2中，當MN＝MC時，作BP⊥MN于P，則四邊形ADPB是矩形．③如圖3中，當NC＝MN時，D與N重合，作DP⊥BC于P．分別解直角三角形即可解決問題.

解：（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸相交于點B，與y軸相交于點A，

∴A（0，3），B（，0），

∴OA＝3，OB＝，

∴tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝60°，

∵BD平分∠ABO，

∴∠DBO＝30°，

∴OD＝OBtan30°＝1，DB＝2OD＝2，

∴AD＝DB＝2，

∴AE＝EB，

∴DE⊥AB，∵DO⊥OB，DB平分∠ABO，

∴DE＝DO＝1．

（2）過點E作EE′∥BC，點E′在x軸下方且EE′＝2，作點D關于直線BC的對稱點D′，連接E′D′交BC于F，在射線CB上取FG＝2．此時D→F→G→E的路徑最短．

∵E′（，），D′（2，﹣1），

∴直線D′E′的解析式為，直線BC的解析式為y＝x﹣3，

由，解得，，

∴F ．

把點F向上平移3個單位，向右平移個單位得到點G，

∴G（）．

（3）以點A為圓心，以AE為半徑作⊙A，則DE為⊙A的切線．

①如圖1中，當CM＝CN時，在AE上取一點P，使得AP＝PN．設EN＝x．

∵CM＝CN，∠MCN＝30°，

∴∠CNM＝∠CMN＝75°，

∴∠ANE＝∠CNM＝75°，

∴∠EAN＝15°，

∴∠PAN＝∠ANP＝15°，

∴∠EPN＝30°，

∴PN＝AP＝2x，PE＝x，

∴2x+x＝，

∴x＝2﹣3，

∴AN＝，

∴CM＝CN＝=．

②如圖2中，當MN＝MC時，作BP⊥MN于P，則四邊形ADPB是矩形，PB＝AE＝，

在Rt△PBM中，∠PBM＝30°，

∴BM＝2，

∴CM＝BC﹣BM＝2﹣2．

③如圖2﹣1中．CM＝CN時，同法可得CM＝．

④如圖3中，當NC＝MN時，D與N重合，作DP⊥BC于P．

∵CD＝6+2＝8，∠DCP＝30°，

∴PC＝PM＝4，

∴CM＝8

綜上所述，滿足條件的CM的值為或或2﹣2或8．