Question

【題目】已知：x為實數，[x]表示不超過x的最大整數，如[3.14]=3，[1]=1，[﹣1.2]=﹣2．請你在學習，理解上述定義的基礎上，解決下列問題：設函數y=x﹣[x]．

（1）當x=2.15時，求y=x﹣[x]的值；

（2）當0＜x＜2時，求函數y=x﹣[x]的表達式，并畫出函數圖象；

（3）當﹣2＜x＜2時，平面直角坐標系xOy中，以O為圓心，r為半徑作圓，且r≤2，該圓與函數y=x﹣[x]恰有一個公共點，請直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0.15；（2）①y=x，②當1y=x﹣1， （3）r的取值范圍是：0＜r＜或x=．

【解析】試題分析：（1）根據[x]的定義進行計算即可；

（2）由已知條件：0＜x＜1，1≤x＜2進行分類討論，由此可求出結論；

（3）把自變題x在-2＜x＜2內分四種情況得出相應的函數關系式，并畫出圖形，確定r的取值即可．

試題解析：解：（1）當x=2.15時，y=x﹣[x]=2.15﹣[2.15]=2.15﹣2=0.15；

（2）①當0＜x＜1時，[x]=0．∵y=x﹣[x]，∴y=x；

②當1≤x＜2時，[x]=1

∵y=x﹣[x]，∴y=x﹣1；

（3）函數y=x﹣[x]（﹣2＜x＜2），如圖，OA=．

①當﹣2＜x＜﹣1，[x]=﹣2，y=x﹣[x]=x+2，②當﹣1≤x＜0時，[x]=﹣1，y=x﹣[x]=x+1，③當0≤x＜1時，[x]=0，y=x﹣[x ]=x，④當1≤x＜2時，[x]=1，y=x﹣[x]=x﹣1，當r=OA= 時，⊙O與直線y=x﹣1相交于一點，OC= OA=，當0＜r＜時，⊙O總與直線y=x相交于一點；

綜上所述：r的取值范圍是：0＜r＜或x= ．