Question

【題目】已知：在△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=EC，AB與DE相交于點F．

（1）如圖1，求證AB=DE；

（2）如圖2，連接CF，求證∠AFC=∠EFC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當AF=EF時，連接BD，AE，延長CF交BD于點G，AE交CF于點H，若AE=8，BG=2，求線段GH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）2.

【解析】

（1）證明△ABC≌△DEC（SAS），可得結論；

（2）如圖2，作垂線段CM和CN，證明△ACM≌△DCN（AAS），得CM=CN，根據角平分線的逆定理可得：∠AFC=∠EFC；

（3）如圖3，先證明△AFC≌△EFC，得AC=EC=BC，再證明△ACH≌△CBG（AAS），得CG和CH的長，利用線段的差可得結論．

證明：（1）如圖1，在△ABC和△DEC中，

∵，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE；

（2）如圖2，過點C作CM⊥AB，CN⊥DE，垂足分別為M，N，

∵△ABC≌△DEC，

∴∠A=∠D，

在△ACM和△DCN中，

∵，

∴△ACM≌△DCN（AAS），

∴CM=CN，

∴∠AFC=∠EFC；

（3）如圖3，∵AB=DE，AF=EF，

∴AB-AF=DE-EF，即BF=DF，

∵∠AFC=∠EFC，∠AFC=∠BFG，∠EFC=∠DFG，

∴∠BFG=∠DFG，

∴FG⊥BD

∴∠BGF=∠DGF=90°，

同理∠AHF=∠EHF=90°，AH=EH=AE=4，

在△AFC和△EFC中

∵

∴△AFC≌△EFC，

∴AC=EC，

∴AC=BC，

∵∠CBG+∠BCG=90°，∠ACH+∠BCG=90°，

∴∠CBG=∠ACH，

在△ACH和△CBG中，

∵，

∴△ACH≌△CBG（AAS），

∴CH=BG=2，CG=AH=4，

∴GH=CG-CH=4-2=2．