Question

【題目】（1）如圖，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得到如下兩個結論：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 請你證明結論②．

（2）如圖，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC+∠ADC＝180°，其他條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）如圖3，如果D在AM的反向延長線上，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC＝∠ADC，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請直接回答；若不成立，你又能得出什么結論，直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結論仍然成立，證明見解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．

【解析】

（1）由已知易證得△ADC≌△ABC，可得AD＝AB，根據已知可得∠ACD＝30°可得AC＝2AD，即可得結論．

（2）以上結論仍成立；作輔助線CE⊥AD，CF⊥AB，首先證得△ACF≌△ACE，可得CF＝CE，即可證得△CFB≌△CED，即可得（1）中結論．

（3）同（2）理作輔助線可得DC＝BC成立，AB﹣AD＝AC．

解：（1）∵AC平分∠MAN，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC為公共邊，

∴△ADC≌△ABC（AAS），

∴AD＝AB，DC＝BC①；

∵∠DCA＝30°，

∴AC＝2AD＝AD+AB②；

（2）如圖：作輔助線CF⊥AB，CE⊥AD，

∵AC平分∠MAN，

∴∠DAC＝∠BAC＝60°，

又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC為公共邊，

∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①；

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°，

∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°，

∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°，

∴∠DCA+∠FCB＝30°，

∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°，

∴∠FCB＝∠DCE②；

由CE⊥AD，CF⊥AB，且已證得條件①②，

∴△CED≌△CFB（ASA），

∴DC＝BC；ED＝FB；

∵在直角△ACF中，AC＝2AF，在直角△ACE中，AC＝2AE，即AC＝AE+AF，

已證得ED＝FB，

∴AC＝AD+AB；

（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．

故答案為：（1）見解析；（2）（1）中的結論仍然成立，證明見解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC．