Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC各頂點的坐標分別為O（0，0），A（3，3）、B（9，5），C（14，0），動點P與Q同時從O點出發，運動時間為t秒，點P沿OC方向以1單位長度/秒的速度向點C運動，點Q沿折線OA﹣AB﹣BC運動，在OA、AB、BC上運動的速度分別為3，，（單位長度/秒），當P、Q中的一點到達C點時，兩點同時停止運動．

（1）求AB所在直線的函數表達式；

（2）如圖2，當點Q在AB上運動時，求△CPQ的面積S關于t的函數表達式及S的最大值；

（3）在P、Q的運動過程中，若線段PQ的垂直平分線經過四邊形OABC的頂點，求相應的t值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（2≤t≤6），當t=5時，S有最大值為；（3）t的值為或或或．

【解析】

試題（1）利用待定系數法求AB所在直線的函數表達式；

（2）由題意得：OP=t，PC=14﹣t，求出PC邊上的高，代入面積公式計算，并根據二次函數的最值公式求出最大值即可；

（3）分別以Q在OA、AB、BC上運動時討論：

①當0＜t≤2時，線段PQ的中垂線經過點C（如圖2），②當2＜t≤6時，線段PQ的中垂線經過點A（如圖3），③當6＜t≤10時，i）線段PQ的中垂線經過點C（如圖4），ii）線段PQ的中垂線經過點B（如圖5），只要能畫出圖形，根據中垂線的性質和勾股定理列方程可得結論．

試題解析：（1）設AB所在直線的函數表達式為y=kx+b，把A（3，）、B（9，）代入得： ，解得：，∴AB所在直線的函數表達式為；

（2）如圖1，由題意得：OP=t，則PC=14﹣t，過A作AD⊥x軸于D，過B作BF⊥x軸于F，過Q作QH⊥x軸于H，過A作AE⊥BF于E，交QH于G，∵A（3，），∴OD=3，AD=，由勾股定理得：OA=6，∵B（9，），∴AE=9﹣3=6，BE=﹣=，Rt△AEB中，AB= =，tan∠BAE===，∴∠BAE=30°，點Q過OA的時間：t=6÷3=2（秒），∴AQ=（t﹣2），∴QG= AQ=，∴QH=+=，在△PQC中，PC=14﹣t，PC邊上的高為，t==4（秒），∴S=（14﹣t）（），即S=（2≤t≤6），∴當t=5時，S有最大值為；

（3）①當0＜t≤2時，線段PQ的中垂線經過點C（如圖2），過Q作QG⊥x軸于G，由題意得：OQ=3t，OP=t，∠AOG=60°，∴∠OQG=30°，∴OG=t，∴CG=14﹣t，sin60°=，∴QG=×3t= ，在Rt△QGC中，由勾股定理得：QG2+CG2=QC2=PC2，可得方程，解得：t1=，t2=0（舍），此時t=；

②當2＜t≤6時，線段PQ的中垂線經過點A（如圖3），∴AQ=AP，過A作AG⊥x軸于G，由題意得：OP=t，AQ=（t﹣2），則PG=t﹣3，AP=（t﹣2），在Rt△AGP中，由勾股定理得：AP2=AG2+PG2，可得方程：，解得：t1=，t2=（舍去），此時t=；

③當6＜t≤10時，分兩種情況：

i）線段PQ的中垂線經過點C（如圖4），∴PC=CQ，由（2）知：OA=6，AB=，BC=10，t==6，∴BQ=（t﹣6），∴CQ=BC﹣BQ=10﹣（t﹣6）=25﹣t，可得方程為：14﹣t=25﹣t，解得：t=；

ii）線段PQ的中垂線經過點B（如圖5），∴BP=BQ，過B作BG⊥x軸于G，則BG=，PG=t﹣9，BQ=（t﹣6），由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，可得方程為：，解得：t1=，t2=（舍去），此時t=，綜上所述，t的值為或或或．