Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線為拋物線、b、c為常數，的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．

已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點點A在點B的左側，與x軸負半軸交于點C．

填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為______，點A的坐標為______，點B的坐標為______；

如圖，點M為線段CB上一動點，將以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；

當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）N點坐標為或；（3）、或、

【解析】試題分析：（1）由夢想直線的定義可求得其解析式，聯立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標；

（2）當N點在y軸上時，過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求得ON的長，可求得N點坐標；當M點在y軸上即M點在原點時，過N作NP⊥x軸于點P，由條件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長，則可求得N點坐標；

（3）當AC為平行四邊形的一邊時，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長，則可求得F點的橫坐標，從而可求得F點坐標，由HE的長可求得E點坐標；當AC為平行四邊形的對角線時，設E（﹣1，t），由A、C的坐標可表示出AC中點，從而可表示出F點的坐標，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標．

（1）∵拋物線，∴其夢想直線的解析式為，聯立夢想直線與拋物線解析式可得：，解得：或，∴A（﹣2，），B（1，0），故答案為：；（﹣2，）；（1，0）；

（2）當點N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，則AD=2，在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴AC= =，由翻折的性質可知AN=AC=，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，當ON=+3時，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，∴N點坐標為（0，﹣3）；

當M點在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點P，如圖2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=，∴tan∠DAM==，∴∠DAM=60°，∵AD∥x軸，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=MN=，NP=MN=，∴此時N點坐標為（，）；

綜上可知N點坐標為（0，﹣3）或（，）；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖3，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中，∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線對稱軸為x=﹣1，∴F點的橫坐標為0或﹣2，∵點F在直線AB上，∴當F點橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y軸的距離為EH﹣OF=﹣=，即E點縱坐標為﹣，∴E（﹣1，﹣）；

當F點的橫坐標為﹣2時，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當AC為平行四邊形的對角線時，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴線段AC的中點坐標為（﹣2.5，），設E（﹣1，t），F（x，y），則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，∴x=﹣4，y=﹣t，代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．