Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝2，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．設AD＝x，BC＝y．

(1)求證：AM∥BN；

(2)求y關于x的關系式；

(3)求四邊形ABCD的面積S，并證明：S≥2．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵AB是直徑，AM、BN是切線，

∴，∴．

解：（2）過點D作于F，則．

由（1），∴四邊形為矩形.

∴，．

∵DE、DA，CE、CB都是切線，

∴根據切線長定理，得

，．

在中，，

∴，

化簡，得．

（3）由（1）、（2）得，四邊形的面積，

即．

∵，當且僅當時，等號成立．

∴，即．

【解析】

（1）根據切線的性質得到它們都和直徑垂直就可證明；

（2）作直角梯形的另一高，構造一個直角三角形，根據切線長定理和勾股定理列方程，再表示出關于y的函數關系式；

（3）根據直角梯形的面積公式表示梯形的面積，再根據求差法比較它們的大小．

（1）證明：是直徑，、是切線，

,，

.

（2）過點作于，則.

由（1），四邊形為矩形.

，.

、，、都是切線，

根據切線長定理，得

，.

在中，，，，

，

化簡，得.

（3）由（1）、（2）得，四邊形的面積，

即.

,當且僅當時，等號成立.

，即.