Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點E是BA延長線上一點，連接DE，點F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于點H，連接BH.

（1）若DG=2，求DH的長；
（2）求證：BH+DH=CH.

Answer 1

（1） （2）證明DM＝BH，DM+DH=CH所以BH+DH=CH

試題分析：（1）∵DG⊥CF且DF＝CD
∴∠FDG=∠FDC 
∵DH平分∠ADE
∴∠FDH=∠ADF  2分
∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=∠FDC-∠ADF
=（∠FDC-∠ADF）=∠ADC=45° 
∴△DGH為等腰直角三角形
∵DG=2，
∴DH＝  .
（2）過點C作CM⊥CH, 交HD延長線于點M

∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=90⁰
∴∠1=∠2
又△DGH為等腰直角三角形
∴△MCH為等腰直角三角形
∴MC=HC
又∵四邊形ABCD為正方形
∴CD＝CB
∴△MCD≌△HCB       
∴DM＝BH
又∵△MCH為等腰直角三角形
∴DM+DH=CH
∴BH+DH=CH    
點評：本題考查角平分線，全等三角形，解本題的關鍵是掌握角平分線的性質，熟悉全等三角形的判定方法，會證明三角形全等