Question

如圖，E為正方形的CD邊上一點，連接BE，過點A作AF∥BE，交CD的延長線于點F，  的平分線分別交AF、AD于點G、H．

（1）若，，求的長度；
（2）證明：．

Answer 1

（1）—1   （2）通過證明∠M=∠MBE得 BE=EM=AH+DF從而BE=AH+DF  

試題分析：（1）∵ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE,
∴∠ABG=∠GBE=30°
∴∠AGB=∠GBE
∴∠ABG=∠AGB
∴AB=AG=      
又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°
∴AH=AB=1     
又∵ABCD是正方形
∴AD=AB
∴DH=—1     
（2）證明：將△ABH繞著點B順時針旋轉90°

∵ABCD是正方形
∴AD=BC,∠ADC=∠C=90°
∴∠ADF=∠C
∵AF∥BE
∴∠F=∠BEC
∴△ADF≌△BCE
∴DF=CE           
又由旋轉可知：AH=CM,∠AHB=∠M,∠BAH=∠BCM=90°
∵∠BCD=90°
∴∠BCD+∠BCM=180°
∴點E、C、M在同一直線。 
∴AH+DF="EC+CM=EM"
又∵BG平分∠ABE,
∴∠ABG=∠GBE
又∵∠ABH=∠CBM
∴∠GBE=∠CBM
∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE
即 ∠GBC=∠MBE 
又∵正方形ABCD中，AD∥BC
∴∠AHB=∠GBC
∴∠GBC=∠M
∴∠M=∠MBE     
∴BE=EM=AH+DF
∴BE=AH+DF       
點評：本題考查正方形、角平分線，旋轉，考生對正方形的性質、角平分線的性質，旋轉的特征的熟悉是解本題的關鍵，要求學生對相應的知識掌握