Question

【題目】材料閱讀：

如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．

解決問題：

（1）圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點（無需寫解答過程）；

（3）如圖③所示的矩形ABCD，將矩形ABCD沿CM折疊后，點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究點E的位置．

Answer 1

【答案】（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；（2）詳見解析；（3）E為AB的中點．

【解析】

（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解；
（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求；
（3）由點E是矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據相似三角形的對應角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性質可得BE與AB，邊之間的數量關系，從而可求出E點的位置．

解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，理由是：

∵∠A=40°，

∴∠ADE+∠DEA=140°，

∵∠DEC=40°，

∴∠BEC+∠DEA=140°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點；

（2）作圖如下：

（3）若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，

則△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折疊得：∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB，

即E為AB的中點．