Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+3;(2);(3)點M的坐標是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．

【解析】

試題（1）由點C的坐標以及tan∠OAC=可得出點A的坐標，結合點A、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，由點A、C的解析式利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，設N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標，由此即可得出PH關于x的解析式，利用配方法即二次函數的性質即可解決最值問題；（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，根據角的計算依據正方形的性質即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進而得出MG=CK．設出點M的坐標利用正方形的性質即可得出點G、K的坐標，由正方形的性質即可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點M的坐標．

試題解析：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3．

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x，x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），

∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴PH有最大值，

當x=2時，PH取最大值，最大值為．

（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四邊形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中，，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設M（x，﹣x2﹣x+3），則G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，

∴|x+1|=|x2+x|，

∴x2+x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，

代入拋物線解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，

∴點M的坐標是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．