Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）連接AE，AE的延長線與BC的延長線交于點G（如圖2所示），若AB=2

5

，AD=2，求線段BC和EG的長．

Answer 1

（1）證明：連接OE，OC；（1分）
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC （2分）
又∵DE與⊙O相切于點E
∴∠OEC=90° （3分）
∴∠OBC=90°
∴BC為⊙O的切線．（4分）

（2）過點D作DF⊥BC于點F，
∵AD，DC，BG分別切⊙O于點A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
設BC為x，則CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，(x+2)2-(x-2)2=(2

5

)2，
解得：x=

5

2

；（6分）
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=

5

2

，（7分）
∴BG=5，
∴AG=

(2 5 )2+52

=

45

=3

5

；（8分）
解法一：連接BE，S△ABG=

1

2

AB•BG=

1

2

AG•BE，
∴2

5

×5=3

5

BE，
∴BE=

10

3

，（9分）
在Rt△BEG中，
EG=

BG2-BE2

=

52-( 10 3 )2

=

5

3

5

，（10分）
解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，（9分）
∴

AD

CG

=

AE

EG

，

2

2.5

=

3 5 -EG

EG

，
解得：EG=

5 5

3

．（10分）