Question

【題目】在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，把紙片展開，得到折痕EF（如圖1）；
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．

請解答以下問題：
（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論；
（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？
（3）設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系．設直線BM′為y=kx，當∠M′BC=60°時，求k的值．此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點），為什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：△BMP是等邊三角形，

證明如下：如圖1，連接AN，

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

由折疊可知AB=BN，

∴AN=AB=BN，

∴△ABN為等邊三角形，

∴∠ABN=60°，

∴∠PBN=30°，

∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，

∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，

∴∠BMP=60°，

∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，

∴△BMP為等邊三角形

（2）

解：要在矩形紙片ABCD上剪出等邊三角形BMP，則BC≥BP，

在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，

∴ =cos30°，

∴BP= = a，

∴b≥ a，

即當b≥ a時，在矩形上能剪出這樣的等邊三角形BMP

（3）

解：∵∠M′BC=60°，

∴∠ABM′=90°﹣60°=30°，

在Rt△ABM′中，tan∠ABM′= ，

∴tan30°= ，解得AM′= ，

∴M′（ ，2），代入y=kx中，可求得k= ；

如圖2，設△ABM′沿BM′折疊后，點A落在矩形ABCD內的點為A′，過A′作A′H⊥BC于點H，

由折疊的性質可知∠A′BM′=∠ABM′=30°，A′B=AB=2，

∴∠A′BH=∠M′BH﹣∠A′BM′=30°，

在Rt△A′BH中，A′H= A′B=1，BH= ，

∴A′（ ，1），

∴A′落在EF上．

【解析】（1）連接AN，可證△ABN為等邊三角形，可求得∠ABM=∠NBM=30°，則可求得∠PBM=∠BMP=60°，可證得△BMP為等邊三角形；（2）由題意可知BC＞BP，在Rt△BNP中，可求得a=BPcos30°，則可找到a、b滿足的關系；（3）在Rt△ABM′中可求得AM′的長，則可求得M′的坐標，代入直線y=kx可求得k的值；設△ABM′沿BM′折疊后點A在矩形OADC內的對應點為A′，過A′作A′H⊥BC于點H，在△A′BH中可求得A′H、BH的長，可求得A′點的坐標，進行判斷即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．