Question

【題目】如圖①，在Rt△ ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，點E在AC上．點D在BC上，點F為AD的中點，連接BF、EF.

圖①

觀察與發現：

(1)線段BF和EF的數量關系是_ _．

拓廣與探索：

(2)如圖，把圖①中的△CED繞著點C順時針旋轉，使點E落在邊BC的延長線上，點F為AD的中點，則(1)中發現的結論是否成立？若成立．請給予證明；若不成立．請說明理由．

圖②

(3)如圖③，把圖①中的△CED繞著點C順時針旋轉，使點D落在邊AC上，點F為AD的中點，則(1)中發現的結論是否還成立？若成立．請給予證明；若不成立．請說明理由．

圖③

Answer 1

【答案】(1) BF＝EF(2) BF＝EF成立(3) BF＝EF成立．

【解析】(1) BF＝EF

(2)結論BF＝EF成立．

證明：如圖①，過點F作FG⊥BE于點G，∴∠FGB＝90°，

圖①

∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC＋∠FGB＝180°， ∴FG∥AB.

又∵∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠BGF. ∴FG∥DE.

∴AB∥FG∥DE. ∴＝.

∵點F是AD的中點，∴AF＝FD. ∴BG＝GE.

又∵FG⊥BE， ∴BF＝EF；

(3)結論BF＝EF成立．

證明：如圖②，過點F作FM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，連接FN.

∴∠FMC＝∠DNC＝90°.

圖②

∵△CDE繞著點C順時針旋轉，使點D落在邊AC上，∴∠DCN＝∠DCE.

在△CDN和△CDE中，，

∴△CDN≌△CDE(AAS)． ∴CN＝CE.

在△FNC和△FEC中，，

∴△FNC≌△FEC(SAS)． ∴FN＝EF.

∵∠ABC＝90°，∠FMN＝∠DNC＝90°.

∴AB∥FM∥DN. 由(2)推理可知BF＝FN. ∴BF＝EF.