Question

【題目】（感知）如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）．

（探究）如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．

（1）求證：△DAP～△PBC．

（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的長．

（應用）如圖③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作∠CPE＝∠A，PE與邊BC交于點E．當CE＝3EB時，求AP的長．

Answer 1

【答案】【探究】（1）證明見解析（2）AP＝4.5；【應用】AP＝3+或AP＝3﹣

【解析】

探究：（1）根據外角的性質得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代換得到∠ADP＝∠CPB，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據相似三角形的性質得到，代入數據即可得到結論；

應用：根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠B，根據相似三角形的性質得到ACBE＝APBP，代入數據即可得到結論．

探究：（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，

∵∠A＝∠DPC，

∴∠ADP＝∠CPB，

∵∠A＝∠B，

∴△DAP∽△PBC；

（2）∵△DAP∽△PBC，

∴，

∴，

∴AP＝4.5；

應用：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∵∠CPE＝∠A，

∴∠A＝∠CPE＝∠B，

由探究得△CAP∽△PBE，

∴，

∴ACBE＝APBP，

∵BC＝4，CE＝3EB，

∴BE＝1，

∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP，

∴AP（6﹣AP）＝4，

∴AP＝3+或AP＝3﹣．