Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2﹣x+c的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點為A（﹣1，0），頂點為B．點C（5，m）在拋物線上，直線BC交x軸于點E．

（1）求拋物線的表達式及點E的坐標；

（2）聯結AB，求∠B的正切值；

（3）點G為線段AC上一點，過點G作CB的垂線交x軸于點M（位于點E右側），當△CGM與△ABE相似時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)，E(2,0);(2)3;(3) M點的坐標為（5，0）或（7，0）

【解析】

（1）由對稱軸可求得a的值，再把A點坐標代入可求得c的值，則可求得拋物線表達式，則可求出B、C的坐標，由待定系數法可求得直線BC的解析式，可求出E的坐標

（2）由A、B、C三點的坐標可求得AB、AC和BC的長，可判定△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，利用三角形的定義可求出答案

（3）設M（x,0），當∠GCM=∠BAE時，可知△AMC為等腰直角三角形，可求的M點的坐標；當∠CMG=∠BAE時，可證得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性質可求得x的值，可求得M點的坐標

（1）∵拋物線對稱軸為x＝1，

∴，解得，

把A點坐標代入可得，解得，

∴拋物線表達式為，

∵，

∴B（1，﹣2），

把C（5，m）代入拋物線解析式可得，

∴C（5，6），

設直線BC解析式為y＝kx+b，

把B、C坐標代入可得，解得，

∴直線BC解析式為y＝2x﹣4，

令y＝2可得2x﹣4＝0，解得x＝2，

∴E（2，0）；

（2）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（5，6），

∴，

∴AB2+AC2＝8+72＝80＝BC2，

∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，

∴；

（3）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），

∴∠CAE＝∠BAE＝45°，

∵GM⊥BC，

∴∠CGM+∠GCB＝∠GCB+∠ABC＝90°，

∴∠CGM＝∠ABC，

∴當△CGM與△ABE相似時有兩種情況，

設M（x，0），則C（x，2x﹣4），

①當∠GCM＝∠BAE＝45°時，則∠AMC＝90°，

∴MC＝AM，即2x﹣4＝x+1，解得x＝5，

∴M（5，0）；

②當∠GMC＝∠BAE＝∠MAC＝45°時，

∵∠MEC＝∠AEB＝∠MCG，

∴△MEC∽△MCA，

∴，即，

∴MC2＝（x﹣2）（x+1），

∵C（5，6），

∴MC2＝（x﹣5）2+62＝x2﹣10x+61，

∴（x﹣2）（x+1）＝x2﹣10x+61，解得x＝7，

∴M（7，0）；

綜上可知M點的坐標為（5，0）或（7，0）．