Question

【題目】已知：如圖，梯形ABCD，DC∥AB，對角線AC平分∠BCD，點E在邊CB的延長線上，EA⊥AC，垂足為點A．

（1）求證：B是EC的中點；

（2）分別延長CD、EA相交于點F，若AC2=DCEC，求證：AD：AF=AC：FC．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質結合角平分線的性質可得出∠BCA=∠BAC，進而可得出BA=BC，根據等角的余角相等結合等角對等邊，即可得出AB=BE，進而可得出BE=BA=BC，此題得證；

（2）根據AC2=DCEC結合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根據相似三角形的性質可得出∠ADC=∠EAC=90°，進而可得出∠FDA=∠FAC=90°，結合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA，再利用相似三角形的性質可證出AD：AF=AC：FC．

（1）∵DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC．

∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，∴BA=BC．

∵∠BAC+∠BAE=90°，∠ACB+∠E =90°，∴∠BAE=∠E，∴AB=BE，∴BE=BA=BC，∴B是EC的中點；

（2）∵AC2=DCEC，∴．

∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA，∴∠ADC=∠EAC=90°，∴∠FDA=∠FAC=90°．

又∵∠AFD=∠CFA，∴△AFD∽△CFA，∴AD：AF=AC：FC．