Question

【題目】如圖1，的余切值為2，，點D是線段上的一動點（點D不與點A、B重合），以點D為頂點的正方形的另兩個頂點E、F都在射線上，且點F在點E的右側，聯結，并延長，交射線于點P．

（1）點D在運動時，下列的線段和角中，________是始終保持不變的量（填序號）；

①；②；③；④；⑤；⑥；

（2）設正方形的邊長為x，線段的長為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出定義域；

（3）如果與相似，但面積不相等，求此時正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）④⑤；（2）；（3）或.

【解析】

（1）作于M，交于N，如圖，利用三角函數的定義得到，設，則，利用勾股定理得，解得，即，，設正方形的邊長為x，則，，由于，則可判斷為定值；再利用得到，則可判斷為定值；在中，利用勾股定理和三角函數可判斷在變化，在變化，在變化；

（2）易得四邊形為矩形，則，證明，利用相似比可得到y與x的關系式；

（3）由于，與相似，且面積不相等，利用相似比得到，討論：當點P在點F點右側時，則，所以，當點P在點F點左側時，則，所以，然后分別解方程即可得到正方形的邊長．

（1）如圖，作于M，交于N，

在中，∵，

設，則，

∵，

∴，解得，

∴，，

設正方形的邊長為x，

在中，∵，

∴，

∴，

在中，，

∴為定值；

∵，

∴，

∴為定值；

在中，，

而在變化，

∴在變化，在變化，

∴在變化，

所以和是始終保持不變的量；

故答案為：④⑤

（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，

∴四邊形為矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∴

（3）∵，與相似，且面積不相等，

∴，即，

∴，

當點P在點F點右側時，AP=AF+PF==，

∴，

解得，

當點P在點F點左側時，，

∴，

解得，

綜上所述，正方形的邊長為或．