Question

已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，最大值為3，此拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；
（3）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一 個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數解析式；
②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上（D不與Q重合）．另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對稱軸方程可求出b的值，由拋物線的最小值可求出c的值，進而求出拋物線的解析式；
（2）把x=0代入拋物線求出y的值確定點A的坐標，求出拋物線的對稱軸得到OC的長．
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分別過點D作x軸和PQ的垂線，通過三角形全等得到∠DQO=45°，求出點Q的坐標，然后用待定系數法求出BQ的解析式．
②分點P在對稱軸的左右兩邊討論，根據相似三角形先求出點Q的坐標，然后代入拋物線求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，
∴2b=1，
∴b=

1

2

，
又∵拋物線最大值為3，
∴3=-

1

4

×1+

1

2

×1+c，
∴c=

11

4

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x2+

1

2

x+

11

4

；

（2）把x=0代入拋物線得：y=

11

4

，
∴點A（0，

11

4

），
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴OC=1；

（3）①如圖：∵此拋物線與y軸交于點A，頂點為B
∴B（1，3）
分別過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
設BQ的解析式為：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直線BQ的解析式為：y=-x+4；
②當點P在對稱軸右側，如圖：
過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN，
∴△CDM∽△EDN，
當∠DCE=30°，

DC

DE

=

DM

DN

=

3

，
又DN=MQ，
∴

DM

MQ

=

3

，
∴

BC

CQ

=

3

，BC=3，CQ=

3

，
∴Q（1+

3

，0），
∴P₁（1+

3

，

9

4

），
當∠DCE=60°，點P₂（1+3

3

，-

15

4

）．
當點P在對稱軸的左邊時，由對稱性知：
P₃（1-

3

，

9

4

），P₄（1-3

3

，-

15

4

）
綜上所述：P₁（1+

3

，

9

4

），P₂（1+3

3

，-

15

4

），P₃（1-

3

，

9

4

），P₄（1-3

3

，-

15

4

）．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）利用拋物線與y軸的交點及對稱軸求出點A的坐標和OC的長．（2）①利用三角形全等確定點Q的坐標，求出BQ的解析式．②根據三角形相似求出點Q的坐標，然后確定點P的坐標．