Question

如圖，已知拋物線y=x²-ax+a²-4a-4與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)，連接PQ、CB，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒、
（1）求a的值；
（2）當(dāng)四邊形ODPQ為矩形時(shí)，求這個(gè)矩形的面積；
（3）當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)D（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；
（2）利用（1）中求得的拋物線，求得點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，再利用矩形的判定與性質(zhì)解得即可；
（3）利用梯形的面積計(jì)算方法解決問題；
（4）由題意可知當(dāng)PQ=PB△PBQ是等腰三角形即可得到問題的答案．

解答：解：（1）把點(diǎn)（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4得，
a²-4a-4=8，
解得：a₁=6，a₂=-2（不合題意，舍去），
因此a的值為6；

（2）由（1）可得拋物線的解析式為y=x²-6x+8，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
當(dāng)y=8時(shí)，x²-6x+8=8，
解得：x=0或x=6，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8），C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），
DP=6-2t，OQ=2+t，
當(dāng)四邊形OQPD為矩形時(shí)，DP=OQ，
2+t=6-2t，t=

4

3

，OQ=2+

4

3

=

10

3

，
∴S=8×

10

3

=

80

3

，
即矩形OQPD的面積為

80

3

；
（3）∵四邊形PQBC的面積為

1

2

（BQ+PC）×8，當(dāng)此四邊形的面積為14時(shí)，
∴

1

2

（BQ+PC）×8=14，
解得t=

3

2

（秒），
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，四邊形PQBC的面積為14；
（4）過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PB，
當(dāng)QE=BE時(shí)，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=

6

5

，
∴當(dāng)t=

6

5

時(shí)，△PBQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的判定與性質(zhì)、矩形的面積、梯形的面積以及等腰三角形的判定等知識(shí)，題目的綜合性很強(qiáng)．