Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+C經過點B（0，3）和點A（3，0）

（1）求該拋物線的函數表達式和直線AB的函數表達式；

（2）若直線l⊥x軸，在第一象限內與拋物線交于點M，與直線AB交于點N，請在備用圖上畫出符合題意的圖形，并求點M與點N之間的距離的最大值或最小值，以及此時點M，N的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的函數表達式是y=﹣x2+2x+3；直線AB的函數表達式是y=﹣x+3；(2) 點M與點N之間的距離有最大值;點M坐標為（，）點N的坐標為(，)．

【解析】整體分析：

（1）把點B(0，3)和點A(3，0)代入到y=-x2+bx+c和一次函數的一般式中求解；（2）設直線l的橫坐標為a，分別用a表示出點M，N的坐標，然后用a表示出MN的長，用配方法即可求出MN的最大值.

解：(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經過點B(0，3)和點A(3，0)，

解得

拋物線的函數表達式是y=-x2+2x+3;

設直線AB:y=kx+m，根據題意得，解得，

直線AB的函數表達式是y=-x+3;

（2）如圖，設直線l的橫坐標為a，

則點M的坐標為(a，-a2+2a+3)，點N的坐標是(a，-a+3)，

又點M，N在第一象限，

∴|MN|=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a，

又|MN|=-a2+3a=-(a2-3a+)+=，

當a= 時，|MN|有最大值，最大值為，

即點M與點N之間的距離有最大值，

此時點M坐標為(，)，點N的坐標為.