Question

【題目】如圖，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的頂點P在對角線AC上（點P與A、C不重合），QP與BC交于E，QP延長線與AD交于點F，連接CQ．

（1）①求證：AP=CQ；②求證：PA2=AFAD；

（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）

【解析】整體分析：

(1)①用SAS證明△ABP≌△CBQ;②利用①的結論和△EPC與△EBQ組成的”8”字形證明△APF∽△ABP;(2)結合△ABP≌△CBQ,證∠PCQ=90°,由②可得∠CBQ=∠CPQ，又CQ=AP,根據正切的定義即可求解.

(1)①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°

∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;

②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，

∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，

由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ

∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，

(本題也可以連接PD，證△APF∽△ADP)

(2)由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，

∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°

∴tan∠CPQ=,

由①得AP=CQ,

又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ，

由②得∠CBQ=∠CPQ，

∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=.