Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數y1= （x＞0）與y2=﹣ （x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為
a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；
（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y1= （x＞0）的圖象都有交點，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，AB交y軸于C，

∵AB∥x軸，

∴S△OAC= ×|4|=2，S△OBC= ×|﹣4|=2，

∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；

（2）

解：∵A、B的橫坐標分別為a、b，

∴A、B的縱坐標分別為 、﹣ ，

∴OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（﹣ ）2，

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2，

∴a2﹣b2+（ ）2﹣（ ）2=0，

∴a2﹣b2+ =0，

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣ ）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣ =0，

∴ab=﹣4；

（3）

解：∵a≥4，

而AC=3，

∴直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y1= （x＞0）的圖象一定有交點，

設直線CD與函數y1= （x＞0）的圖象交點為F，如圖2，

∵A點坐標為（a， ），正方形ACDE的邊長為3，

∴C點坐標為（a﹣3， ），

∴F點的坐標為（a﹣3， ），

∴FC= ﹣ ，

∵3﹣FC=3﹣（ ﹣ ）= ，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴點F在線段DC上，

即對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y1= （x＞0）的圖象都有交點．

【解析】（1）如圖1，AB交y軸于C，由于AB∥x軸，根據k的幾何意義得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）根據函數圖象上點的坐標特征得A、B的縱坐標分別為 、﹣ ，根據兩點間的距離公式得到OA2=a2+（ ）2 ， OB2=b2+（﹣ ）2 ， 則利用等腰三角形的性質得到a2+（ ）2=b2+（﹣ ）2 ， 變形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣ ）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣ =0，易得ab=﹣4；（3）由于a≥4，AC=3，則可判斷直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y1= （x＞0）的圖象一定有交點，設直線CD與函數y1= （x＞0）的圖象交點為F，由于A點坐標為（a， ），正方形ACDE的邊長為3，則得到C點坐標為（a﹣3， ），F點的坐標為（a﹣3， ），所以FC= ﹣ ，然后比較FC與3的大小，由于3﹣FC=3﹣（ ﹣ ）= ，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判斷點F在線段DC上．
【考點精析】認真審題，首先需要了解反比例函數的圖象(反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點)，還要掌握反比例函數的性質(性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大)的相關知識才是答題的關鍵．