Question

【題目】如圖，是的直徑，點為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，交于點，直線交的延長線于點，連接，，．

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（1）求證：平分；

（2）探究線段，之間的數量關系，并說明理由；

（3）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）5

【解析】

（1）連接，根據切線的性質可得，然后根據平行線的判定可得，從而證出，根據等邊對等角可得，從而證出，即可證出結論；

（2）根據直徑所對的圓周角是直角可得，然后根據相似三角形的判定定理證出，列出比例式即可得出結論；

（3）過點作于點，根據相似三角形的判定定理可得，列出比例式即可求出OC，再根據，可得，最后根據勾股定理即可求出AC、BC，從而求出結論．

解：（1）證明：連接，

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∵是的切線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（2）線段，之間的數量關系為：．

理由：∵是的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴

（3）過點作于點，

則，四邊形是矩形，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

在中，

∴

∴，

∴

∴

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