Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，點D是直線MN上一點，不與點A重合．

（1）若點E是圖1中線段AB上一點，且DE=DA，請判斷線段DE與DA的位置關系，并說明理由；

（2）請在下面的A，B兩題中任選一題解答．

A：如圖2，在（1）的條件下，連接BD，過點D作DP⊥DB交線段AC于點P，請判斷線段DB與DP的數量關系，并說明理由；

B：如圖3，在圖1的基礎上，改變點D的位置后，連接BD，過點D作DP⊥DB交線段CA的延長線于點P，請判斷線段DB與DP的數量關系，并說明理由．

我選擇：　 　．

Answer 1

【答案】（1）DE⊥DA，詳見解析；（2）A、DB=DP；B、DB=DP．詳見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠B=∠C=45°，根據平行線的性質得到∠DAE=∠B=45°，根據等腰三角形的性質即可得證；

（2）A：根據同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，證明△DEB≌△DAP，根據全等三角形的性質定理證明結論；

B：與題A的證明方法類似，延長AB至F，連接DF，使DF=DA，證明△DFB≌△DAP即可．

解：（1）DE⊥DA；

證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵MN∥BC，

∴∠DAE=∠B=45°（兩直線平行，內錯角相等），

又∵DA=DE，

∴∠DEA=∠DAE=45°，

∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；

（2）A：DB=DP；

證明：∵DP⊥DB，

∴∠BDE+∠EDP=90°，

又∵DE⊥DA，

∴∠ADP+∠EDP=90°，

∴∠BDE=∠ADP，

∵∠DEA=∠DAE=45°，

∴∠BED=135°，∠PAD=135°，

∴∠BED=∠PAD，

在△DEB和△DAP中，

，

∴△DEB≌△DAP（AAS），

∴DB=DP（三角形全等其對應邊相等）．

B：DB=DP；

證明：如圖3，延長AB至F，連接DF，使DF=DA，

由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，

∴∠ADF=90°，

又∵DP⊥DB，

∴∠FDB=∠AMP，

∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，

∴∠PAM=45°，

∴∠BFD=∠PAM，

在△DFB和△DAP中，

，

∴△DFB≌△DAP（ASA），

∴DB=DP（三角形全等其對應邊相等）．