Question

【題目】已知二次函數y=ax2的圖象經過點（2，1）．

（1）求二次函數y=ax2的解析式；
（2）一次函數y=mx+4的圖象與二次函數y=ax2的圖象交于點A（x1、y1）、B（x2、y2）兩點．
①當m=時（圖①），求證：△AOB為直角三角形；
②試判斷當m≠時（圖②），△AOB的形狀，并證明； n>S扇形DOE求得即可．
（3）根據第2問，說出一條你能得到的結論．（不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】（1）解：∵y=ax2過點（2，1），

∴1=4a，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x2；

（2）

①證明：

當m=時，聯立直線和拋物線解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，1），B（8，16），

分別過A、B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D，如圖1，

∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，

∴，且∠ACO=∠ODB，

∴△ACO∽△ODB，

∴∠AOC=∠OBD，

又∵∠OBD+∠BOD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，

∴△AOB為直角三角形；

②解：△AOB為直角三角形．

證明如下：

當m≠時，聯立直線和拋物線解析式可得，解得或，

∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），

分別過A、B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，如圖2，

∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，

∴，且∠ACO=∠ODB，

∴△ACO∽△OBD，

∴∠AOC=∠OBD，

又∵∠OBD+∠BOD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，

∴△AOB為直角三角形；

（3）

解：由2可知，一次函數y=mx+4的圖象與二次函數y=ax2的交點為A、B，則△AOB恒為直角三角形．（答案不唯一）．

【解析】（1）把點（2，1）代入可求得a的值，可求得拋物線的解析式；
（2）①可先求得A、B兩點的坐標，過A、B兩點作x軸的垂線，結合條件可證明△ACO∽△ODB，可證明∠AOB=90°，可判定△AOB為直角三角形；②可用m分別表示出A、B兩點的坐標，過A、B兩點作x軸的垂線，表示出AC、BD的長，可證明△ACO∽△ODB，結合條件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB為直角三角形；
（3）結合（2）的過程可得到△AOB恒為直角三角形等結論．