Question

【題目】如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．

（1）求證：CF=CH；
（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）；

（2）

解：四邊形ACDM是菱形．

證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，

又∵∠A=∠D=45°，

∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），

∵AC=CD，

∴四邊形ACDM是菱形．

【解析】（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形．
此題考查了圖形的旋轉問題，涉及知識點有全等三角形、平行四邊形和菱形的判定。