Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).

（1）求直線的解析式；

（2）將直線向上平移6個(gè)單位得到直線，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，若點(diǎn)為垂線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小值；

（3）已知點(diǎn)、分別是直線、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、，是否存在點(diǎn)、，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P(﹣3，)．

【解析】

（1）點(diǎn)A在y=-x-8上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣5，得到A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A代入yx+b，即可求解；

（2）點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于直線l4的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(﹣5，3)，連接AD'交x軸、l4于點(diǎn)N、M，則此時(shí)CM+MN+NA最小，最小值為A'D，即可求解；

（3）證明△PNQ≌△EKP(AAS)，則PN=KE，QN=PK，即可求解．

（1）∵點(diǎn)A在y=-x-8上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣5，

∴A(﹣5，﹣3)．

將點(diǎn)A代入yx+b，

∴b=4，

∴直線l1的解析式yx+4；

（2）l2：y=﹣x﹣8與y軸的交點(diǎn)D(0，﹣8)．

∵將直線l2向上平移6個(gè)單位得到直線l3，直線l3與y軸交于點(diǎn)E，

∴E(0，﹣2)．

∵過點(diǎn)E作y軸的垂線l4，

點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于直線l4的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(﹣5，3)，

連接AD'交x軸、l4于點(diǎn)N、M，則此時(shí)CM+MN+NA最小，最小值為：A'D，

CM+MN+NA=MD+MN+A'N=A'D，

A'D；∴CM+MN+NA的值最小為；

（3）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(m，m+4)、(n，﹣n﹣8)，

過點(diǎn)Q作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥QM于點(diǎn)N，PN交l4于點(diǎn)K，

易證△PNQ≌△EKP(AAS)，

∴PN=KE，QN=PK，

即：m+4+n+8=﹣m，m﹣nm+4+2，

解得：m=﹣3，n=．

當(dāng)m=﹣3時(shí)，m+4=．

故點(diǎn)P(﹣3，)．