Question

【題目】如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC＝6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M．

（1）若∠AOB＝60，OM＝4，OQ＝1，求證：CN⊥OB．

（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．

①問： 的值是否發生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由．

②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）CN⊥OB；（2）①②0＜≤

【解析】試題分析：（1）過P作PE⊥OA于E，易證四邊形OMPQ為平行四邊形．根據三角函數求得PE的長，再根據三角函數求得∠PCE的度數，即可得∠CPM＝90，又因PM∥OB，即可證明CN⊥OB．（2）①設OM＝x，ON＝y，先證△NQP∽△NOC，即可得，把x，y代入整理即可得－的值.②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，可得S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，所以＝．再證△CPM∽△CNO，所以＝＝，用x表示出與x的關系，根據二次函數的性質即可得的取值范圍．

試題解析：（1）

過P作PE⊥OA于E．∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四邊形OMPQ為平行四邊形．

∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60，

∴PE＝PM·sin60＝，ME＝，

∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，

∴∠PCE＝30，∴∠CPM＝90，

又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90 ，即CN⊥OB．

（2）①－的值不發生變化． 理由如下：

設OM＝x，ON＝y．∵四邊形OMPQ為菱形，∴ OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y－x．

∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O．又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴＝，即＝，

∴6y－6x＝xy．兩邊都除以6xy，得－＝，即－＝．

②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，

則S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，

∴＝．

∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O．又∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO．∴＝＝．

∴＝＝－（x－3）2＋．

∵0<x<6，由這個二次函數的圖像可知，0＜≤．