Question

【題目】如圖，直線y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點E，F，點E的坐標為（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0）

（1）求k的值；

（2）若點P（x，y）是第二象限內的直線上的一個動點，在點P的運動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，探究：當點P運動到什么位置時，△OPA的面積為，并說明理由；

（4）問在x軸上是否存在點Q，使得△EFQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）S＝x+18（﹣8＜x＜0）；（3）點P（﹣，）時，△OPA的面積為；（4）存在，符合條件的Q的坐標為（﹣18，0）或（2，0）或（8，0）或（﹣，0）

【解析】

（1）將點E的坐標代入解析式中即可求出結論；

（2）由題意可得y＝x+6，然后求出點A的坐標，根據三角形的面積公式即可求出結論；

（3）把S＝代入S＝x+18即可求出結論；

（4）根據等腰三角形腰的情況分類討論，畫出對應的圖形，然后根據等腰三角形的性質和勾股定理即可求出結論．

解：（1）∵直線y＝kx+6經過點E（﹣8，0），

∴﹣8k+6＝0，

解得k＝；

（2）∵點P（x，y）是第二象限內的直線上的一個動點，

∴y＝x+6，

∵點A的坐標為（﹣6，0），

∴OA＝6，

∴S＝OAy＝×6×（x+6）＝x+18．

即S＝x+18（﹣8＜x＜0）；

（3）把S＝代入S＝x+18

得＝x+18，

解得x＝﹣，

∴當點P（﹣，）時，△OPA的面積為；

（4）如圖，∵E（﹣8，0），F（0，6）

∴OE＝8，OF＝6，EF＝10，

①以E為圓心以EF為半徑作圓交x軸于Q1、Q2，

則Q1（﹣18，0），Q2（2，0），

②以F為圓心以EF為半徑作圓交x軸于Q3，

易知FO垂直平分EQ3，

則Q3（8，0），

③作EF的垂直平分線交x軸于Q4，

∴Q4E= Q4F，設Q4O=x，則Q4E= Q4F=8－x，

由勾股定理可得

即

解得：x=

∴Q4（﹣，0）．

綜上，符合條件的Q的坐標為（﹣18，0）或（2，0）或（8，0）或（﹣，0）．