Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的對稱中心為坐標原點O，AD⊥y軸于點E（點A在點D的左側），經過E、D兩點的函數y=﹣x2+mx+1（x≥0）的圖象記為G1，函數y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的圖象記為G2，其中m是常數，圖象G1、G2合起來得到的圖象記為G．設矩形ABCD的周長為L．

（1）當點A的橫坐標為﹣1時，求m的值；

（2）求L與m之間的函數關系式；

（3）當G2與矩形ABCD恰好有兩個公共點時，求L的值；

（4）設G在﹣4≤x≤2上最高點的縱坐標為y0，當≤y0≤9時，直接寫出L的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）L=8m+4．（3）20；（4）12≤L≤44．

【解析】

（1）求出點B坐標利用待定系數法即可解決問題；

（2）利用對稱軸公式，求出BE的長即可解決問題；

（3）由G2與矩形ABCD恰好有兩個公共點，推出拋物線G2的頂點M（﹣m，m2﹣1）在線段AE上，利用待定系數法即可解決問題；

（4）分兩種情形討論求解即可.

（1）由題意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）

把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，

∴m=；

（2）∵拋物線G1的對稱軸x=﹣=m，

∴AE=ED=2m，

∵矩形ABCD的對稱中心為坐標原點O，

∴AD=BC=4m，AB=CD=2，

∴L=8m+4；

（3）∵當G2與矩形ABCD恰好有兩個公共點，

∴拋物線G2的頂點M（﹣m，m2﹣1）在線段AE上，

∴m2﹣1=1，

∴m=2或﹣2（舍棄），

∴L=8×2+4=20；

（4）①當最高點是拋物線G1的頂點N（m，m2+1）時，

若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍棄），

若m2+1=9時，m=4或﹣4（舍棄），

又∵m≤2，

觀察圖象可知滿足條件的m的值為1≤m≤2，

②當（2，2m﹣1）是最高點時，，

解得2≤m≤5，

綜上所述，1≤m≤5，

∴12≤L≤44．