Question

【題目】（2016·長沙中考）若拋物線L：y＝ax2＋x＋c（a，b，c是常數，abc≠0）與直線l都經過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關系，此時，直線l叫作拋物線L的“帶線”，拋物線L叫作直線l的“路線”.

（1）若直線y＝mx＋1與拋物線y＝x2－2x＋n具有“一帶一路”關系，求m，n的值；

（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數y＝的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y＝2x－4，求此“路線”L的解析式.

Answer 1

【答案】（1）m＝－1，n＝1；（2）y＝2(x＋1)2－6或y＝－ (x－3)2＋2.

【解析】試題分析: (1)令直線y＝mx＋1中x＝0,則y＝1,所以該直線與y軸的交點為(0,1),將(0,1)代入拋物線y＝x2－2x＋n中,得n＝1,可求出拋物線的解析式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,所以拋物線的頂點坐標為(1，0)．將點(1,0)代入到直線y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,

(2)將y＝2x－4和y＝聯立方程可得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,所以該“路線”L的頂點坐標為(－1,－6)或(3,2),令“帶線”l：y＝2x－4中x＝0,則y＝－4,所以 “路線”L的圖象過點(0,－4),設該“路線”L的解析式為y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由題意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,所以此“路線”L的解析式為y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.

試題解析:(1)令直線y＝mx＋1中x＝0,則y＝1,即該直線與y軸的交點為(0,1),將(0,1)代入拋物線y＝x2－2x＋n中,得n＝1,

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,

∴拋物線的頂點坐標為(1，0)．將點(1,0)代入到直線y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,

(2)將y＝2x－4代入到y＝中,得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,

∴該“路線”L的頂點坐標為(－1,－6)或(3,2),

令“帶線”l：y＝2x－4中x＝0,則y＝－4,

∴“路線”L的圖象過點(0,－4),

設該“路線”L的解析式為y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由題意得:

－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,

∴此“路線”L的解析式為y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.