Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．

（1）求證：CG是⊙O的切線．
（2）求證：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

Answer 1

（1）連接OC，由C是劣弧AE的中點，根據垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據切線的判定定理即可得到結論。
（2）連接AC、BC，根據圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。
（3）2

分析：（1）連接OC，由C是劣弧AE的中點，根據垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據切線的判定定理即可得到結論。
（2）連接AC、BC，根據圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF。
（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根據平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入計算即可。
解：（1）證明：如圖，連接OC，

∵C是劣弧AE的中點，∴OC⊥AE。
∵CG∥AE，∴CG⊥OC。
∵OC是⊙O的半徑，∴CG是⊙O的切線。
（2）證明：連接AC、BC，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。
∴∠2+∠BCD=90°。
∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。
∵AC弧=CE弧，∴∠1=∠B。
∴∠1=∠2。∴AF=CF。
（3）在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，∴DF=AF=1。
∴AD=DF=。
∵AF∥CG，∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2。
∴AG=2。