Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以對角線BD為直徑作⊙O，分別于BC、AD相交于點E、F.

（1）求證四邊形BEDF為矩形.
（2）若BD²=BE·BC，試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）CD與⊙O相切

解：（1）證明：∵BD為⊙O的直徑，∴∠DEB=∠DFB=90⁰。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC。
∴∠FBC=∠DFB=90⁰，∠EDA=∠BED=90⁰。
∴四邊形BEDF為矩形。
（2）直線CD與⊙O的位置關系式相切。理由如下：
∵BD²=BE•BC，∴。
∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC。∴∠BDC=∠BED=90⁰，即BD⊥CD。
∵OD是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切。
（1）求出∠DEB=∠DFB=90°，根據平行四邊形的性質推出AD∥BC，推出∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=90⁰，根據矩形的判定推出即可。
（2）根據已知求出△BED∽△BDC，推出∠BDC=∠BED=900，根據切線判定推出即可。