Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點M，若H是AC的中點，連接MH．

（1）求證：MH為⊙O的切線．

（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．

（3）在（2）的條件下分別過點A、B作⊙O的切線，兩切線交于點D，AD與⊙O相切于N點，過N點作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點，求線段NQ的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接OH、OM，則OH為△ABC的中位線，進而可證明△COH≌△MOH，∴∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；（2）由（1）可知MH=HC，H為AC中點，∠CMH=90°，可得AC=3，再利用三角函數可求得BC=4，故半徑為2；（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，則AC=AN，又因為OC=ON，可知AO⊥CN， 利用面積可求得CI的長度，設CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ．

試題解析： （1）連接OH、OM，∵H是AC的中點，O是BC的中點，∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，∴∠COH=∠MOH，又∵OH=OH，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO=∠HMO=90°，

∴MH是⊙O的切線；

（2）∵MH、AC是⊙O的切線，∴HC=MH=，∴AC=2HC=3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵，∴，∴BC=4，∴⊙O的半徑為2；（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點I，∵AC與AN都是⊙O的切線，∴AC=AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC=3，OC=2，∴，∵S△ACO=AC·OC=AO·CI，∴CI=，∴CN=2CI=.設OE=x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，∴ ，∴，∴，在Rt△CEN中，，∴NQ=2EN=．