Question

【題目】（1）如圖1，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內部，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．求證：△ABD≌△CAF；

（2）如圖2，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F都在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；

（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，求△ACF與△BDE的面積之和．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△ACF與△BDE的面積之和5．

【解析】如圖①，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據AAS證兩三角形全等即可；圖②根據已知和三角形外角性質求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據ASA證兩三角形全等即可；圖③求出△ABD的面積，根據△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，即可得出答案．

證明：如圖①，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∠ADB=∠CFA，∠ABD=∠CAF，AB=AC，

∴△ABD≌△CAF（AAS）；

（2）∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

在△ABE和△CAF中，

∠ABE=∠CAF，AB=AC，∠BAE=∠FCA，

∴△ABE≌△CAF（ASA）；

（3）∵△ABC的面積為15，CD=2BD，

∴△ABD的面積是： ×15=5，

由（2）中證出△ABE≌△CAF，

∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即等于△ABD的面積，是5．

“點睛”本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的面積，三角形的外角性質等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，證明過程有類似之處．