Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點A，點B與點O關于點A對稱

（1）填空：點B的坐標是 ；

（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點C關于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)（0，）；(2)點P在拋物線上,理由詳見解析；（3）P點坐標為（，1）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線解析式可求得點A的坐標，再利用對稱可求得B點坐標；（2）可先用k表示出C點坐標，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設P點縱坐標為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；（3）利用平行線和軸對稱的性質可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交于點A，

∴A（0，），

∵點B與點O關于點A對稱，

∴BA=OA=，

∴OB=，即B點坐標為（0，），

故答案為：（0，）；

（2）∵B點坐標為（0，），

∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，

∴OC=﹣，

∵PB=PC，

∴點P只能在x軸上方，

如圖1，過B作BD⊥l于點D，設PB=PC=m，

則BD=OC=﹣，CD=OB=，

∴PD=PC﹣CD=m﹣，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，

∴PB=+，

∴P點坐標為（﹣， +），

當x=﹣時，代入拋物線解析式可得y=+，

∴點P在拋物線上；

（3）如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，

∴∠OBC=∠PCB，

又PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC，

∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′關于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，

∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，

在Rt△OBC中，OB=，則BC=1

∴OC=，即P點的橫坐標為，代入拋物線解析式可得y=（）2+=1，

∴P點坐標為（，1）．