Question

（2012•翔安區質檢）如圖，已知以點A（2，-1）為頂點的拋物線經過點B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設點D為拋物線對稱軸與x軸的交點，點E為拋物線上一動點，過E作直線y=-2的垂線，垂足為N．
①探索、猜想線段EN與ED之間的數量關系，并證明你的結論；
②拋物線上是否存在點E使△EDN為等邊三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線解析式y=a（x-h）²+k，依據它的頂點坐標和所經過的B點坐標，即可求出拋物線的解析式；
（2）①根據已知，很容易就可以得到D點的坐標，E點為動點，分情況討論：當點E與B重合時；當點E與O重合時；當點E與A重合時；當點E不與B、O、A重合時，結合拋物線解析式，設出E點的坐標，依據勾股定理，求出DE關于x、y的表達式，然后，根據E點的橫坐標和N點的橫坐標相同，求出EN關于x、y的表達式，即可看出它們相等；
②提出假設，根據已知點的坐標求證相關點的坐標，便可得知相關線段的長度，即可求證E點的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線的頂點A（2，-1）且過點B（4，0），
∴y=a（x-2）²-1，
且0=4a-1，
∴a=

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-2）²-1=

1

4

x²-x；

（2）①猜想：DE=NE，
證明：∵點D為拋物線對稱軸與x軸的交點，
∴得D（2，0），
當點E與B重合時，
∵D（2，0），B（4，0），
∴ED=2，
∵過E作直線y=-2的垂線，垂足為N，
∴EN=2，
∴DE=EN
當點E與O重合時，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
當點E與A重合時，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
當點E與A重合時，
∵A（2，-1），EN=2
∴DE=1，EN=1，
∴DE=EN，
當點E不與B、O、A重合時，
設E點坐標為(x，

1

4

x2-x)，EN交x軸于點F，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x-2）²+y²，
又∵NE=y+2，
∴NE2=y2+4y+4=y2+4(

1

4

x2-x)+4=y²+x²-4x+4=（x-2）²+y²，
∴DE=NE，
綜上所述，DE=NE；

②答：存在，
當點E在x軸上時△EDN為直角三角形，點E在x軸下方時△EDN為鈍角三角形，所以只當E在x軸上方時△EDN才可能為等邊三角形，
理由一：若△EDN為等邊三角形，
∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴EF=FN=2，
∴y=

1

4

x²-x=2，
解得　x=2±2

3

，
∴點E的坐標為(2+2

3

，2)和(2-2

3

，2)，
理由二：若△EDN為等邊三角形，
∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴∠EDF=30°，EF=FN=2，
在Rt△DEF中，tan∠EDF=

EF

DF

，
∴DF=

EF

tan∠EDF

=

2

tan30°

=2

3

，
∵DA是拋物線的對稱軸，且D（2，0），
∴根據拋物線的對稱性得點E的坐標為(2+2

3

，2)和(2-2

3

，2)．

點評：本題主要考查二次函數解析式的確定，根據解析式求點的坐標、勾股定理等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法