Question

（2012•翔安區質檢）如圖．己知四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，對角線AC=l0cm．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形：
（2）若點E在對角線AC上，CE=4cm，動點P從B點出發，以每秒1cm的速度沿BC運動至點C止．設點P運動了x秒，請你探索：從運動開始，經過多少時間，以點E、P、C為頂點的三角形是等腰三角形？請寫出所有可能的結果．

Answer 1

分析：（1）先得出平行四邊形ABCD，根據勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根據矩形的判定推出即可；
（2）分為三種情況：①CE=CP，②EP=CE，③EP=PC，畫出圖形，求出即可．

解答：證明：（1）∵AB∥DC，AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=6cm，BC=8cm，AC=l0cm，
∴AB²+BC²=100，AC²=100，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：分為三種情況：①如圖1，
當CE=CP=4cm時，
BP=8-4=4cm，
即t=4秒；
②如圖2，
當PE=CE=4cm時，過E作EM⊥BC于M，
則AB∥EM，
∴

CE

AC

=

CM

BC

，
∴

4

10

=

CM

8

，
∴CM=3.2（cm），
∵PE=CE，EM⊥CP，
∴PC=2CM=6.4cm，
∴BP=8cm-6.4cm=1.6cm，
∴t=1.6s；
③
如圖3，當EP=CP時，過P作PN⊥AC于N，
則CN=

1

2

CE=2，∠CNP=∠B=90°，
∵∠PCN=∠BCA，
∴△PCN∽△ACB，
∴

CN

CB

=

CP

AC

，
∴

2

8

=

CP

10

，
∴CP=2.5cm，
∴BP=8cm-2.5cm=5.5cm，
t=5.5s，
即從運動開始，經過4秒或1.6秒或5.5秒時，以點E、P、C為頂點的三角形是等腰三角形，即t=4秒或1.6秒或5.5秒

點評：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理等知識點的應用，用了分類討論思想．