Question

為了探索代數式的最小值，
小張巧妙的運用了數學思想．具體方法是這樣的：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作，連結AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，設BC=x．則， 則問題即轉化成求AC+CE的最小值．

(1)我們知道當A、C、E在同一直線上時，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于      ，此時       ；
(2)題中“小張巧妙的運用了數學思想”是指哪種主要的數學思想?
(選填：函數思想，分類討論思想、類比思想、數形結合思想)
(3)請你根據上述的方法和結論，試構圖求出代數式的最小值.

Answer 1

（1）10，；（2）數形結合思想；（3）13.

試題分析：（1）根據兩點之間線段最短可知AC+CE的最小值就是線段AE的長度．過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點．在Rt△AEF中運用勾股定理計算求解．
（2）小張巧妙的運用了數形結合思想.
（3）由（1）的結果可作BD=12，過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值就是代數式的最小值.
試題解析：（1）過點E作EF∥BD，交AB的延長線于F點，

根據題意，四邊形BDEF為矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴．
即AC+CE的最小值是10．

∵EF∥BD，
∴，
∴，
解得：．
（3）過點A作AF∥BD，交DE的延長線于F點，

根據題意，四邊形ABDF為矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴
即AC+CE的最小值是13．
考點: 軸對稱-最短路線問題．