Question

如圖：在正方形ABCD中，點P、Q是CD邊上的兩點，且DP=CQ，過D作DG⊥AP于H，交AC、BC分別于E，G，AP、EQ的延長線相交于R.

（1）求證：DP=CG；
（2）判斷△PQR的形狀，請說明理由.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）△PQR為等腰三角形，理由見試題解析．

試題分析：（1）正方形對角線AC是對角的角平分線，可以證明△ADP≌△DCG，即可求證DP=CG．
（2）由（1）的結論可以證明△CEQ≌△CEG，進而證明∠PQR=∠QPR．故△PQR為等腰三角形．
試題解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，∠CDG+∠ADH=90°，∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，∴∠CDG=∠DAH，∴△ADP≌△DCG，∵DP，CG為全等三角形的對應邊，∴DP=CG．
（2）△PQR為等腰三角形．理由如下：
∵CQ=DP，由（1）的結論可知，∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，∴∠PQR=∠CGE，∵∠QPR=∠DPA，且（1）中證明△ADP≌△DCG，∴∠PQR=∠QPR，所以△PQR為等腰三角形．