Question

【題目】已知：如圖，在菱形中，，．點為邊上的一個動點（與點、不重合），，與邊相交于點，聯結交對角線于點．設，．

（1）求證：是等邊三角形；

（2）求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；

（3）點是線段的中點，聯結，當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=（0＜x＜2）；（3）．

【解析】

（1）首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利由∠BAC=∠EAF=60°，可證明∠BAE=∠CAF，從而可證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形；

（2）過點E作EH⊥AC于點H，過點F作FM⊥AC于點M，先用含x的代數式表示出HM，然后證明△EGH∽△FGM，得出，從而可用含x的代數式表示出HG，最后在Rt△EHG中，利用勾股定理可得出x，y之間的關系；

（3）先用含x的代數式表示出CG的長，然后證明△COE∽△CGF，得出，從而可得出關于x的方程，解出x的值即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE=AF，又∠EAF=60°，

∴△AEF為等邊三角形．

（2）解：過點E作EH⊥AC于點H，過點F作FM⊥AC于點M，

∵∠ECH=60°，∴CH=，EH=x，

∵∠FCM=60°，由（1）知，CF=BE=2-x，∴CM=（2-x），FM=（2-x），

∴HM=CH-CM=-（2-x）=x-1．

∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM，

∴△EGH∽△FGM，∴，∴，

∴，∴HG=．

在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，

∴y2=（x）2+[]2，∴y2=，∴y=（舍去負值），

故y關于x的解析式為y=（0＜x＜2）．

（3）解：如圖，

∵O為AC的中點，∴CO=AC=1．

∵EO=EG，EH⊥OC，∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，∴∠CGF=∠EOG．

∵∠ECG=60°，EC=x，∴CH=，∴OH=GH=OC-CH=1-，∴OG=2OH=2-x，

∴CG=OC-OG=x-1．

∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60°，

∴△COE∽△CGF，

∴，∴，整理得x2=2，

∴x=（舍去負值），經檢驗x是原方程的解．

故x的值為．