Question

如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數量關系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH；
（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據S_△PCE，S_△APF，S_△ABC，再根據S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=CP=，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC=•k=，
同理：FN=AN•tanA=•k=4k-，
由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，
而EM+FN=+4k-=4k，
∴EM+FN=BH；

（3）解：當k=4時，EM=2x，FN=16-2x，BH=16，
所以，S_△PCE=x•2x=x²，S_△APF=（8-x）•（16-2x）=（8-x）²，S_△ABC=×8×16=64，
S=S_△ABC-S_△PCE-S_△APF，
=64-x²-（8-x）²，
=-2x²+16x，
配方得，S=-2（x-4）²+32，
所以，當x=4時，S有最大值32．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點．