Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x的頂點為M，與x軸交于0，A兩點，點P（a，0）是線段0A上一動點（不包括端點），過點P作y軸的平行線，交直線y=x于點B，交拋物線于點C，以BC為一邊，在BC的右側作矩形BCDE，若CD=2，則當矩形BCDE與△OAM重疊部分為軸對稱圖形時，a的取值范圍是__．

Answer 1

【答案】或或＜a≤5．

【解析】∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣4）2+4，∴頂點M的坐標為（4，4），

令y=0，則﹣x2+2x=0，整理得，x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=8，∴點A的坐標為（8，0），

設直線AM的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+8，∴∠MAO=45°，由拋物線的對稱性得，△AMO是等腰直角三角形，

①矩形BCDE為正方形時，BC=DC，∴（﹣a2+2a）﹣a=2，解得a1=，a2=；

②矩形BCDE關于拋物線對稱軸對稱時，點P的橫坐標a=4+CD=4+×2=4+1=5；

③如圖，點E在AM上時，設直線y=x與直線AM相交于點G，

聯立，解得，∴點G的坐標為（， ），

∵PB∥y軸，四邊形BCDE為矩形，∴BE∥x軸，∴△GBE∽△OGA，

∴==，∴=，

過點G作GH⊥x軸于H，則GH∥PB，∴△OBP∽△OGH，

∴=，即=，解得PB=1，∴點B的縱坐標為1，

代入y=x得， x=1，解得x=5，∴點P的橫坐標a=5，

∴從此位置到點B與點G重合，重疊部分為等腰直角三角形，∴＜a≤5；

綜上所述，矩形BCDE與△OAM重疊部分為軸對稱圖形時，a的取值范圍是： 或或5或＜a＜5，故答案為或或＜a≤5．