Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，C，點(diǎn)D（m，4）在直線AC上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=2OC．點(diǎn)E是y軸上任意一點(diǎn)，連結(jié)DE，將線段DE按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DG，作正方形DEFG，記點(diǎn)E為（0，n）．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）記正方形DEFG的面積為S，

① 求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；

② 當(dāng)DF∥x軸時(shí)，求S的值；

（3）是否存在n的值，使正方形的頂點(diǎn)F或G落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；當(dāng)n=或21或3或時(shí)，正方形的頂點(diǎn)F或G落在△ABC的邊上．

【解析】試題分析：（1）由于點(diǎn)D（m，4）在直線AC上，代入直線AC的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4）；

（2）①如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，則EH=|n﹣4|，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可得S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)DF∥x軸時(shí)，點(diǎn)H即為正方形DEFG的中心，可得n=7，再代入函數(shù)關(guān)系式即可得到S的值；

（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得BC為： ；再分四種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)；④當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí)；進(jìn)行討論可得所有滿足條件的n的值．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（m，4）在直線AC上；

∴4=m+8，解得m=﹣3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，4）；

（2）①如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，則EH=|n﹣4|

∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；

②當(dāng)DF∥x軸時(shí)，點(diǎn)H即為正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18；

（3）∵OB=2OC=16，∴B為（16，0），∴BC為： ；

①當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖2，作DM⊥y軸于M，FN⊥y軸于N．在△DEM與△EFN中， ，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3

∴F為（n﹣4，n﹣3）

∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n=；

②當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，如圖3，作DM⊥y軸于M，GN⊥DM軸于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴點(diǎn)G縱坐標(biāo)為1，∴，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；

③當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)，如圖4，作DM⊥y軸于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；

④當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí)，如圖5．∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n=，顯然，點(diǎn)G不落在AB邊上，點(diǎn)F不落在AC邊上，故只存在以上四種情況．

綜上可得，當(dāng)n=或21或3或時(shí)，正方形的頂點(diǎn)F或G落在△ABC的邊上．