Question

【題目】已知：如圖1，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）如圖2，當直線AC與⊙O相切時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE．

∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60°；

又∵OB=OE∴∠OEB=∠B=∠C=60°；

∴OE∥AC；

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OE

∴EF是⊙O的切線．

（2）設直線AC與⊙O相切于點G，連接OG，則OB=OG=r，OA=4﹣r

在Rt△AOG中，sinA= ，

∴ = ，

解得：r=8 ﹣12．

【解析】（1）連接OE，只要證明OE⊥EF，只要證明OE∥AC即可解決問題．（2）設直線AC與⊙O相切于點G，連接OG，則OB=OG=r，OA=4﹣r，在Rt△AOG中，根據sinA= ，列出方程即可解決問題．
【考點精析】利用等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．