Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于點，，經過，兩點的拋物線與軸的負半軸的另一交點為，且

（1）求該拋物線的解析式及拋物線頂點的坐標；

（2）點是射線上一點，問是否存在以點，，為頂點的三角形，與相似，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），頂點；（2）存在，或

【解析】

（1）利用直線解析式求出點A、C的坐標，從而得到OA、OC，再根據tan∠CBO=3求出OB，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數法求出二次函數解析式，整理成頂點式形式，然后寫出點D的坐標；

（2）根據點A、B的坐標求出AB，判斷出△AOC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出AC，∠BAC=45°，再根據點B、D的坐標求出∠ABD=45°，然后分①AB和BP是對應邊時，△ABC和△BPA相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BP，過點P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點P的坐標即可；②AB和BA是對應邊時，△ABC和△BAP相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BP，過點P作PE⊥x軸于E，求出BE、PE，再求出OE的長度，然后寫出點P的坐標即可．

解：（1）令y=0，則x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，則y=3，
∴點A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=，
∴OB=1，
∴點B（-1，0），
把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式得，

，解得：，

∴該拋物線的解析式為：，

∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，

∴頂點；

（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=OA=3，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是對應邊時，△ABC∽△BPA，
∴，
即，
解得BP=，
過點P作PE⊥x軸于E，

則BE=PE=×=，
∴OE=1+=，
∴點P的坐標為（-，-）；
②AB和BA是對應邊時，△ABC∽△BAP，
∴，
即，
解得BP=，
過點P作PE⊥x軸于E，
則BE=PE=×=3，
∴OE=1+3=4，
∴點P的坐標為（-4，-3）；

綜合上述，當或時，以點，，為頂點的三角形與相似；