Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD于點D.

(1)、求證： AC平分∠DAB；(2)、若點E為的中點，AD=，AC=8，求AB和AE的長.

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、AB=10；AE=5.

【解析】

試題分析：(1)、連接OC，根據切線的性質和垂直得出AD∥OC，則∠DAC=∠ACO，根據OA=OC得出∠CAO=∠ACO，從而說明∠DAC=∠CAO，得出角平分線；(2)、連接BC，證明△ADC和△ACB相似，從而求出AB的長度，根據E為中點得出△AOE為等腰直角三角形，從而得出AE的長度.

試題解析：(1)、連接OC ∵CD與圓相切與點C ∴∠DCO=90° ∵AD⊥CD ∴AD∥OC

∴∠DAC=∠ACO ∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO ∴∠DAC=∠CAO ∴AC平分∠DAB

(2)、連接BC， ∵AB為直徑 ∴∠ACB=∠ADC=90° 由(1)得∠DAC=∠CAO

∴△ADC∽△ACB． ∴ ∵，AC=8， ∴AB=10.

∵點為的中點，∴∠AOE=90°．∴△AOE為等腰直角三角形 ∴AO=OE=5 AE=5