Question

【題目】如圖，在等腰中，，在中，，與交于點。

（1）如圖1，若，求的長；

（2）如圖2，為延長線上一點，連接，若，求證：。

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析

【解析】

（1）如圖1中，作FE⊥BA于E．在Rt△BEF中，求出BF=，然后利用銳角三角函數求解；

（2）延長AC交BD的延長線于H．只要證明△BCH≌△ACF，△CDF≌△CDH，AE垂直平分線段BD，即可解決問題；

（1）解：如圖1中，作FE⊥BA于E．

∵CA=CB，∠C=90°，

∴∠ABC=45°，∵∠BEF=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∵BF=，

∴BE=EF= BF×cos45°= 4，

（2）證明：如圖2中，延長AC交BD的延長線于H．

∵∠BEF=∠ACF=90°，∠BFE=∠AFC，

∴∠HBC=∠CAF，∵CB=CA，∠BCH=∠ACF，

∴△BCH≌△ACF，

∴AF=BH，CF=CH，

∵∠ACD=135°，∠ACB=90°，

∴∠ECD=∠HCD=45°，

∵CD=CD，

∴△CDF≌△CDH，

∴DF=DH，

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴BE=ED，

∴AE垂直平分線段BD，

∴FB=FD=DH，

∴AF=BH=BD+DH=BD+BF，

∴即．